作為流體力學(xué)中最重要的研究方向，湍流幾乎覆蓋了所有的工程和科研領(lǐng)域。在過去20多年的時(shí)間里，以“湍流”為標(biāo)題的論文洋洋灑灑，超過5萬篇。而關(guān)于湍流的思考和科學(xué)研究也已經(jīng)有了幾百年的歷史，可即便如此，今天的我們?nèi)匀粵]有辦法給“湍流”下一個(gè)準(zhǔn)確的定義或結(jié)論。

唐太宗曾有言：“以史為鏡，可以知興替”。為了從歷史的角度理解湍流的發(fā)展，今天，我們就走近湍流，來一場穿越時(shí)空的旅行。

 流體穿越者

關(guān)于湍流最早的描述，大概可以追溯到歐洲文藝復(fù)興時(shí)期。在那個(gè)群星璀璨的年代，達(dá)·芬奇無疑是最獨(dú)特的一個(gè)。作為人類歷史上絕無僅有的全才，達(dá)·芬奇思想深邃，學(xué)識淵博，不僅擅長繪畫、雕刻、建筑，還通曉數(shù)學(xué)、生物、物理、天文等學(xué)科。除了《蒙娜麗莎》和《最后的晚餐》等曠世名作之外，達(dá)芬奇在自然科學(xué)方面也作出了巨大的貢獻(xiàn)。

在流體力學(xué)方面，達(dá)·芬奇總結(jié)出河水的流速同河道寬度成反比，這也是連續(xù)性方程最早的描述。他還通過對鳥翼運(yùn)動的研究，于1493年首次設(shè)計(jì)出一個(gè)飛行器。當(dāng)然，達(dá)芬奇在流體力學(xué)領(lǐng)域最大的貢獻(xiàn)仍然是他基于對流體的觀察和思考所繪制的圖畫。

看著達(dá)·芬奇創(chuàng)作的流體相關(guān)的畫作，感覺仿佛穿越時(shí)空一般的神奇。達(dá)·芬奇對于湍流細(xì)節(jié)的掌控，讓人不禁懷疑他在穿越的時(shí)候是不是帶了一臺能算CFD的電腦。

經(jīng)典流體力學(xué)的三劍客

藝術(shù)和科學(xué)在推動人類文明前進(jìn)中相輔相成。文藝復(fù)興之后，整個(gè)歐洲的自然科學(xué)領(lǐng)域也仿佛開掛了一般，涌現(xiàn)出了諸多屏霸我們物理課本的大神。流體力學(xué)的領(lǐng)域自然也不例外。不過為了從科學(xué)上解釋和計(jì)算流動，大神們選擇性的忽略了達(dá)芬奇之前在圖畫中描述的充滿著旋渦的混亂流動，而是選擇研究理想的流體。

作為經(jīng)典力學(xué)的開創(chuàng)者，牛頓大帝當(dāng)然也沒有放過流體力學(xué)。經(jīng)過大量的實(shí)驗(yàn)研究，牛頓于1686年提出了著名的“牛頓內(nèi)摩擦定律”——流體的內(nèi)摩擦力（即粘性力）的大小與流體的性質(zhì)（粘性系數(shù)μ）有關(guān)，并與流體的速度梯度和接觸面積成正比。

1738年，丹尼爾·伯努利在經(jīng)典著作《流體動力學(xué)》中提出了著名的伯努利原理：流體速度的增加與靜壓的降低或流體勢能的降低同時(shí)發(fā)生， 14年以后，丹尼爾一生的摯友——?dú)W拉才給出通用形式的伯努利方程。當(dāng)然，歐拉大神對于經(jīng)典流體力學(xué)更大的貢獻(xiàn)則是將微分方程應(yīng)用到了流體力學(xué)的領(lǐng)域，并提出了影響后世的歐拉方程，即牛頓第二定律施加到理想流體上的微分方程。

偉大的三劍客的確把經(jīng)典流體力學(xué)推向了前所未有的高度，但無論是伯努利方程還是歐拉方程在真正的湍流面前似乎都顯得力不從心。

 描述真實(shí)流動的N-S雙雄

描述理想流體運(yùn)動的歐拉方程問世以后，吸引了無數(shù)的追隨者，然而人們很快便發(fā)現(xiàn)歐拉方程的結(jié)果總是和實(shí)際不一致，主要原因便是歐拉方程沒有考慮到流體的內(nèi)摩擦，即粘性對流體運(yùn)動的影響。

直到1822年，納維公開發(fā)表了關(guān)于流體運(yùn)動的文章，從分子運(yùn)動層面闡述了相對運(yùn)動產(chǎn)生的分子間作用力，文章提到：從大量的經(jīng)驗(yàn)來看，壓力并沒有明顯地影響運(yùn)動流體各部分之間的分子作用所產(chǎn)生的阻力，而這些阻力來源于相鄰分子的速度大小或方向的差異，即分子間的相對速度。另外，納維在文章中還明確提及了流動的“非線性”，用數(shù)學(xué)層面的語言解釋了某種混亂的流動。

站在前人的肩膀上，1845年，斯托克斯大展神威，推出了引無數(shù)流體人盡折腰的“N-S方程”。作為最普世的流體運(yùn)動方程，它適用于可壓縮變粘度的粘性流體的運(yùn)動，當(dāng)然也適合于湍流。至此，湍流問題的數(shù)學(xué)描述得以實(shí)現(xiàn)。

可是讓流體江湖萬分敬仰的N-S方程卻不是一個(gè)省油的燈，正如我們在之前的文章中調(diào)侃過的，N-S方程就仿佛流體江湖的“葵花寶典”，所有人都知道修煉成功之后便可縱橫武林，但是欲練此功就必須要“揮刀自宮”。對于N-S方程來說，這最痛的一刀便是方程中的對流項(xiàng)u·▽u，它具有二階非線性，如同一座大山一樣擋在求解者的面前。而非線性本身便是湍流的一大特征。從此N-S方程便和湍流開啟了長達(dá)一百多年的糾纏，直至今日。

有一種流動，它有一些任性

深得流體力學(xué)俠客們熱捧的N-S方程雖然1845年就面世了，但很長一段時(shí)間以來，人們并沒有建立起它和實(shí)際湍流流動之間的關(guān)聯(lián)。于是人們將目光從N-S方程轉(zhuǎn)向了湍流本身。

法國著名的機(jī)械工程師和數(shù)學(xué)家Saint-Venant首先在公開發(fā)表的文章中區(qū)分了 “常規(guī)”和“動蕩”兩種流動狀態(tài)。后來，人們對這兩種流態(tài)之間的過渡產(chǎn)生了濃厚的興趣，大家開始尋求一種解釋這種過渡的機(jī)制，并尋求一種表征流動不規(guī)則、不穩(wěn)定或者扭曲的標(biāo)準(zhǔn)。

時(shí)光荏苒，直到1883年，雷諾通過著名的圓管染色實(shí)驗(yàn)，才向人們展示了湍流無規(guī)則的流態(tài)：隨著流速的增加，平穩(wěn)的流動便逐漸演化為雜亂無章的流動，即為湍流。這大概是我們在教科書上第一次遇見湍流的樣子。然而，彼時(shí)的雷諾還不知道這種雜亂無章的流動在后世被稱為“湍流（turbulence）”，他也不知道后來有一位量子力學(xué)的大神——索末菲用他的名字命名了一個(gè)神奇的無量綱數(shù)——雷諾數(shù)。

雷諾實(shí)驗(yàn)的第二年，雷諾在《Nature》上發(fā)表了一篇關(guān)于“水的兩種運(yùn)動方式”的論文，描述了兩種流動狀態(tài)之間的過渡，其中有一段比喻很有趣：一支小型部隊(duì)很容易在行動中遵守秩序和紀(jì)律；而一支龐大的軍隊(duì)則更有可能出現(xiàn)混亂。“平穩(wěn)的流動”類似于一支訓(xùn)練有素的軍隊(duì)，而“彎曲或不穩(wěn)定的流動”就像是一支處于“斗爭”狀態(tài)的部隊(duì)。雷諾在文中用軍隊(duì)的規(guī)模、行進(jìn)速度、紀(jì)律等來類比影響流動狀態(tài)的流動尺度、速度和粘度。當(dāng)然，在文章中，雷諾還提及了擾動對于湍流觸發(fā)的影響。

用湍流命名湍流

雷諾實(shí)驗(yàn)的經(jīng)典之處就在于通過科學(xué)的實(shí)驗(yàn)向人們展示了兩種流態(tài)之間的過渡以及它們之間的差異。雷諾使用了扭曲、旋渦、不穩(wěn)定、橫向流動等等諸多的形容詞形容一種復(fù)雜的流動，卻唯獨(dú)沒有提到“湍流（turbulence）”。直到威廉姆·湯姆森（William Thomson）在1887年發(fā)表的兩篇論文中才首次明確使用“湍流（turbulence）”來定義某種復(fù)雜的流動。

威廉·湯姆森研究了傾斜的平面流動，并且在文章中提到，當(dāng)流動是湍流時(shí)，流體內(nèi)部會產(chǎn)生明顯的干擾，這種干擾會產(chǎn)生額外的粘性效應(yīng)。湯姆森進(jìn)一步建議將流動的兩種狀態(tài)分開，一面是剪切流或?qū)恿?，另一面，則是湍流或動蕩的流動。這是公開發(fā)表的文獻(xiàn)中第一次以“湍流（turbulence）”的名詞來清晰的定義大家熟知的湍流。

或許是湯姆森在流體力學(xué)領(lǐng)域的地位還不夠顯赫，他提出“湍流（turbulence）”很長一段時(shí)間以后并未得到整個(gè)學(xué)界的廣泛認(rèn)可。直到20世紀(jì)初，Boussinesq開始在論文中統(tǒng)一使用湍流（turbulence）一詞。隨后，現(xiàn)代流體力學(xué)的祖師爺普朗特和他的徒子徒孫們也開始全面使用湍流（turbulence）一詞。再之后，湍流不僅僅成為一個(gè)所有人認(rèn)可的名詞，更是成為了一個(gè)專門的研究領(lǐng)域。

湍流問題的數(shù)學(xué)破局

再次回到湍流問題的數(shù)學(xué)求解，雷諾實(shí)驗(yàn)讓人們親眼目睹了‘速度’這一物理變量的復(fù)雜性，而速度紊亂的時(shí)空演化本質(zhì)上就是N-S方程的實(shí)際解，然而湍流本身的復(fù)雜性使得N-S方程在求解湍流時(shí)顯得捉襟見肘。

不過所幸，對于很多工程問題，我們并不需要完全求解湍流。比如工程上更關(guān)心流動的壓力損失和平均速度分布，而非湍流的細(xì)節(jié)。雷諾實(shí)驗(yàn)五年以后，雷諾才幡然醒悟，既然流動未可知，不妨使用統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想——對N-S方程進(jìn)行平均，把瞬時(shí)速度u分解為時(shí)均速度ū和脈動速度u’，代入N-S方程即可得到雷諾平均的N-S方程，也就是RANS。

然而雷諾平均的N-S方程似乎更復(fù)雜了，除了平均速度的應(yīng)力，上式中還多了脈動應(yīng)力項(xiàng)，稱之為雷諾應(yīng)力，成為新的攔路虎。不過所幸，在雷諾提出對N-S方程進(jìn)行速度平均的十幾年前，即1877年，Boussinesq 便將湍流脈動引起的切應(yīng)力類比成了牛頓內(nèi)摩擦定律，即用粘度乘以速度梯度來表示湍流脈動引起的切應(yīng)力，也就是雷諾對N-S方程進(jìn)行速度平均多出來的雷諾應(yīng)力項(xiàng)。這就是大名鼎鼎的渦粘性假設(shè)：雷諾應(yīng)力=μt*(?ū/?y)，其中的μt體現(xiàn)了湍流脈動引起的切應(yīng)力，稱為渦粘性系數(shù)。至此，湍流在數(shù)學(xué)求解層面出現(xiàn)了真正的破局。

集大成者的開宗立派

盡管雷諾和Boussinesq指明了湍流數(shù)學(xué)求解的方向，然而道路上卻充滿了沼澤和泥濘，直到咱們的祖師爺——普朗特于1924年提出了混合長度理論，湍流的計(jì)算從數(shù)學(xué)表達(dá)到工程應(yīng)用這座橋梁才逐漸變得清晰。

我們知道流體的粘性來自于分子自由運(yùn)動產(chǎn)生的摻混，與分子運(yùn)動自由程密切相關(guān)；而對于渦粘性，也可以類似的定義湍流脈動摻混的長度，稱之為混合長度，其物理意義為流體微團(tuán)耗散前所經(jīng)歷的距離，因此脈動速度可以表示為混合長度與Y向速度梯度的乘積，而渦粘性系數(shù)則可以相應(yīng)的表述出來。因此，只要知道了混合長度，便可以明確渦粘性系數(shù)，進(jìn)而求解雷諾平均的N-S方程。

然而混合長度的準(zhǔn)確值也很難得知，于是普朗特繼續(xù)發(fā)揚(yáng)了“跟著感覺走，天下在我手”的科學(xué)精神，大膽的認(rèn)為混合長度與到壁面的距離成正比，從而得到了CFD領(lǐng)域第一種實(shí)用的渦粘模型。1978年， Baldwin和Lowmax基于湍流邊界層內(nèi)外層的流動差異提出了更合理的B-L模型，即針對湍流邊界層的內(nèi)層和外層分別定義混合長度。

混合長度模型是代數(shù)模型，相當(dāng)于直接用代數(shù)公式定義了渦粘性系數(shù)，被稱為零方程模型。而我們熟知的k-epsilon模型及其變種（如k-omega模型等），也屬于渦粘性模型，該模型針對混合長度繼續(xù)演化，將其表示為湍動能k、湍流耗散率epsilon和湍流脈動速度的函數(shù)，而渦粘性系數(shù)便可由k和epsilon導(dǎo)出。普朗特之后，湍流的求解再次進(jìn)入到了一個(gè)全新的時(shí)代，直至今日。

從無序中看到有序

對于湍流來說，無論剛開始生成的大尺度渦有多豪橫，最后都會慢慢破碎成小渦，直至消亡。于是，湍流的無序中似乎又多了一份有序。1922年，愛寫詩的理查德森（Richardson）發(fā)現(xiàn)湍動能串級過程。大尺度渦從外界獲得能量并輸出給小尺度渦；小尺度渦則像一個(gè)耗能機(jī)械，把湍動能全部耗散為熱能；而流體的慣性猶如一個(gè)傳送機(jī)械，把大尺度渦的能量源源不斷的輸送給小尺度的渦。

1935年，泰勒開始研究更理想化的湍流。他在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)的均勻氣流后設(shè)置了幾排規(guī)則的格柵，均勻氣流流過格柵時(shí)便產(chǎn)生不規(guī)則擾動。這種不規(guī)則擾動向下游運(yùn)動過程中，由于沒有外界干擾，逐漸演化為各向同性湍流。

湍流理論的筑橋人

有了湍流能級串的定性認(rèn)識和泰勒的均勻各向同性理論，深知“萬物皆可統(tǒng)計(jì)”的柯爾莫果洛夫敏銳的認(rèn)識到湍流也可統(tǒng)計(jì)。于是柯大俠就使出了“統(tǒng)計(jì)大法”的第一招，即柯爾莫果洛夫的第一相似性假設(shè)：如果小渦的尺度足夠小，那么它是無法直接感受到各向異性的大渦的，因此小尺度的渦可以認(rèn)為是局部各向同性的，也就是說，能級串中各級傳遞特征相似，且由于此尺度范圍內(nèi)粘性幾乎不起作用，因此傳遞速度相同，并等于最終的能量耗散率ε。

為了進(jìn)一步的揭示湍流的奧秘，柯大俠緊接著使出了第二招，即第二相似性假設(shè)：對于尺度為G的流動結(jié)構(gòu)，如果η<<G<<L（其中η為耗散尺度，L為宏觀尺度），那么此尺度范圍的渦不僅不受大尺度各向異性的渦的影響，也不受耗散尺度的渦的影響，而其含能僅取決于能量傳遞速率ε，與粘性也無關(guān)。

最后，柯大俠使出了一招平平無奇的量綱分析，在1941年提出了湍流世界最著名的-5/3冪律，并在眾多學(xué)者的實(shí)驗(yàn)中得到了驗(yàn)證。當(dāng)然隨著湍流理論的不斷發(fā)展，人們也發(fā)現(xiàn)了柯大俠的K41理論并非完美無缺，不過這并不妨礙它成為湍流研究史中最耀眼的一章。

柯大俠的理論不僅開啟湍流理論研究的新篇章，也為后世使用LES和類LES方法求解湍流提供了理論依據(jù)。